二、实验目的

1. 掌握惠斯通电桥测量电阻的基本原理和方法。

2. 学会使用箱式惠斯通电桥测量中值电阻。

3. 了解电桥平衡条件及检流计在实验中的作用。

4. 学习对实验数据进行处理，包括平均值、标准偏差、相对误差及不确定度的计算。

三、实验仪器

箱式惠斯通电桥、检流计、直流稳压电源、开关、导线、300 Ω 已知标准电阻、待测电阻 (R_x)。

四、实验原理

惠斯通电桥由四个电阻臂组成。当电桥达到平衡时，检流计中无电流通过，检流计指针不偏转，此时桥路满足平衡条件：

$$
\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_x}{R_0}
$$

因此待测电阻为：

$$
R_x=\frac{R_1}{R_2}R_0
$$

在箱式惠斯通电桥中，通常把比例臂比值记为倍率 (K)，于是有：

$$
R_x=KR_0
$$

其中 (R_0) 为比较电阻箱读数。
本实验中给出的读数均直接对应测得电阻值，故按：

$$
K=1
$$

处理。

电阻箱读数由四个旋钮给出：

$$
R_0=100X_{100}+10X_{10}+X_1+0.1X_{0.1}
$$

例如，当 (X_{100}=3,\ X_{10}=0,\ X_1=0,\ X_{0.1}=8) 时：

$$
R_0=3\times100+0\times10+0\times1+8\times0.1=300.8\Omega
$$

惠斯通电桥的特点是测量精度较高，特别适用于中等阻值电阻的测量。

五、实验步骤

1. 按实验电路图正确连接箱式惠斯通电桥、检流计、电源、开关及待测电阻。

2. 检查线路连接，确认无误后接通电源。

3. 根据待测电阻的大致范围选择合适倍率 (K)。本实验取 (K=1)。

4. 按下检流计按钮，观察检流计指针偏转方向。

5. 调节电阻箱各旋钮，使检流计指针逐渐接近零位。

6. 当检流计指针基本不偏转时，认为电桥达到平衡，记录各旋钮读数。

7. 对 300 Ω 已知电阻和待测电阻 (R_x) 分别重复测量多次。

8. 对实验数据进行整理和计算，求出平均值、标准偏差和误差。

六、实验数据记录与处理

6.1 300 Ω 已知电阻的测量

由公式：

$$
R=100X_{100}+10X_{10}+X_1+0.1X_{0.1}
$$

计算每次测量值，结果如下表所示。

表1 300 Ω 已知电阻测量数据

平均值：

$$
\overline{R}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}R_i=300.91\Omega
$$

标准偏差：

$$
S_R=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{12}(R_i-\overline{R})^2}{12-1}}=0.15\Omega
$$

已知标准值为：

$$
R_0=300.00\Omega
$$

相对误差：

$$
E=\frac{|\overline{R}-R_0|}{R_0}\times100%
$$

$$
E=\frac{|300.91-300.00|}{300.00}\times100%=0.30%
$$

因此，300 Ω 已知电阻的测量结果为：

$$
R=(300.91\pm0.15)\Omega
$$

图1 插入位置

请在这里插入：图1 300 Ω 已知电阻测量结果

图注写法：
图1 300 Ω 已知电阻测量结果
图中虚线表示平均值，点线表示标准值，阴影区域表示 (\pm1\sigma) 范围。

图1 简要分析：
从图中可以看出，各次测量结果均集中在 300.7～301.1 Ω 之间，波动范围较小，测量稳定性较好。平均值与标准值较接近，说明电桥测量结果准确。

6.2 待测电阻 (R_x) 的测量

同样利用读数公式：

$$
R_x=100X_{100}+10X_{10}+X_1+0.1X_{0.1}
$$

得到待测电阻各次测量值如下。

表2 待测电阻 (R_x) 测量数据

平均值：

$$
\overline{R_x}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}R_{xi}=100.12\Omega
$$

标准偏差：

$$
S_{R_x}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{12}(R_{xi}-\overline{R_x})^2}{12-1}}=1.31\Omega
$$

因此待测电阻的测量结果为：

$$
R_x=(100.12\pm1.31)\Omega
$$

即：

$$
R_x\approx100.1\Omega
$$

图2 插入位置

请在这里插入：图2 待测电阻 Rx 测量结果

图注写法：
图2 待测电阻 (R_x) 测量结果
图中虚线表示平均值，阴影区域表示 (\pm1\sigma) 范围。

图2 简要分析：
从图中可以看出，大多数测量值集中在 99.0～100.5 Ω 之间，仅第 1 次测量值 103.9 Ω 明显偏大，说明该次测量可能存在调节不充分或读数误差。总体来看，待测电阻约为 100 Ω。

6.3 两组测量结果对比

为了更直观地比较两组数据的平均值和离散程度，绘制均值与标准偏差对比图。

图3 插入位置

请在这里插入：图3 两组测量结果的均值与标准偏差对比

图注写法：
图3 两组测量结果的均值与标准偏差对比图
误差棒表示每组数据的标准偏差。

图3 简要分析：
由图可见，300 Ω 已知电阻的标准偏差明显小于待测电阻，说明其测量稳定性更高；待测电阻数据离散程度较大，主要受第 1 次偏大数据影响。

七、不确定度与误差分析

根据实验指导书，箱式电桥测量的不确定度可按下式估算：

$$
\Delta R_x=K(a%R_0+b\Delta R_0)
$$

其中：

$$
a=0.1,\qquad b=0.2,\qquad \Delta R_0=1\Omega
$$

本实验中 (K=1)。

1. 已知电阻的不确定度

$$

$$

$$
\Delta R=0.30091+0.2=0.50\Omega
$$

故按仪器不确定度估算：

$$
R=(300.91\pm0.50)\Omega
$$

2. 待测电阻的不确定度

$$
\Delta R_x=1\times(0.1%\times100.12+0.2\times1)
$$

$$
\Delta R_x=0.10012+0.2=0.30\Omega
$$

故按仪器不确定度估算：

$$
R_x=(100.12\pm0.30)\Omega
$$

3. 误差来源分析

实验误差主要来源于以下几个方面：

1. 检流计零位判断误差：指针是否完全回零由人工判断，存在主观误差。
2. 接触电阻：导线、接线柱和接触点可能带来附加电阻。
3. 电阻箱读数误差：旋钮切换和读数存在一定误差。
4. 电源波动：电源不稳定会影响桥路平衡状态。
5. 热效应影响：若检流计按钮按下时间过长，电流发热会使电阻值略有变化。
6. 异常数据影响：待测电阻第 1 次测量值 103.9 Ω 明显偏大，导致标准偏差增大。

八、实验结果

300 Ω 已知电阻的测量结果为：

$$
R=(300.91\pm0.15)\Omega
$$

相对误差为：

$$
E=0.30%
$$

待测电阻的测量结果为：

$$
R_x=(100.12\pm1.31)\Omega
$$

因此，待测电阻约为：

$$
R_x\approx100.1\Omega
$$

若按照箱式电桥仪器不确定度表示，则待测电阻也可写为：

$$
R_x=(100.12\pm0.30)\Omega
$$

九、实验结论

本实验利用箱式惠斯通电桥测量电阻。通过调节比较电阻箱，使检流计指针无明显偏转，从而判断电桥达到平衡。对 300 Ω 已知电阻的测量结果为：

$$
R=(300.91\pm0.15)\Omega
$$

其相对误差为：

$$
0.30%
$$

说明惠斯通电桥测量电阻具有较高的准确度和重复性。

对待测电阻 (R_x) 的测量结果为：

$$
R_x=(100.12\pm1.31)\Omega
$$

说明待测电阻约为 100 Ω。实验表明，惠斯通电桥是一种较为精密的电阻测量方法，适用于中值电阻的准确测量。

十、思考题

1. 什么叫电桥达到平衡？实验中如何判断？

当检流计中无电流通过，检流计指针不偏转时，称电桥达到平衡。实验中可通过短时间按下检流计按钮，观察指针是否稳定在零位附近来判断。

2. 如何适当选择倍率？

应根据待测电阻的大致大小选择适当倍率，使电阻箱读数位于较合理范围，从而提高测量精度和读数分辨率。

3. 为什么 “G” 要用按钮开关，而不是一般开关？

因为检流计灵敏度高，若长时间接通可能有较大电流通过而损坏。用按钮开关可以只在观察时短时间接通，起保护作用。

4. 电源 (E) 与检流计 (G) 的位置互换，是否影响电桥平衡？

不会。因为电桥平衡条件取决于桥臂电阻比例，电源和检流计互换位置不改变平衡条件。

5. 使用检流计时应注意哪些问题？哪些现象说明检流计可能损坏？

应先粗调后细调，不能让较大电流长时间通过检流计。若发现指针不能回零、总向一侧偏转、完全不偏转或卡滞不动，说明检流计可能损坏或线路接触异常。

6. 若滑动触点在 AB 电阻线上任意滑动，检流计都不偏转，而用电压表测 AB 间有示数，说明什么问题？

说明电源回路正常，而检流计支路可能断路，尤其可能是滑动触点与检流计之间的导线断开，或检流计连接线发生断路。