电位差计的使用

一、实验目的

1. 掌握箱式电位差计的工作原理和使用方法。
2. 理解补偿法测量电动势的基本思想。
3. 学会用箱式电位差计测量热电偶的温差电动势。
4. 根据实验数据作出热电偶的 (E-t) 标定曲线，并求出热电偶的温差系数 (k)。
5. 学会对实验数据进行线性拟合、误差分析和可视化处理。

二、实验仪器

箱式电位差计、检流计、标准电池、热电偶、温度计、电热杯、保温杯（冰水混合物）、导线若干。

三、实验原理

1. 电位差计测量原理

电位差计是利用补偿法测量电动势的精密仪器。
若待测电动势 (E_x) 与电位差计输出的补偿电压大小相等、方向相反，则检流计中无电流通过，即检流计指零，此时电路达到补偿状态。于是有：

$$
E_x=U
$$

由于测量时待测支路中没有电流通过，因此避免了电源内阻和仪表内阻对测量结果的影响，可得到较准确的电动势值。

2. 工作电流的校准

电位差计使用前必须先校准工作电流。
将开关拨到”标准”位置，用标准电池 (E_N) 和标准电阻 (R_N) 校准，当检流计指零时：

$$
E_N=I_0R_N
$$

因此标准工作电流为：

$$
I_0=\frac{E_N}{R_N}
$$

只有工作电流调到标准值 (I_0)，电位差计刻度读数才准确。

3. 热电偶测温原理

两种不同金属导体构成闭合回路时，若两个接点温度不同，回路中会产生温差电动势，这种现象称为温差电现象。该装置称为热电偶。

当冷端温度保持为 (t_0=0^\circ C)，热端温度为 (t) 时，在一定温度范围内，热电偶的电动势与温度近似满足线性关系：

$$
E=k(t-t_0)
$$

由于本实验中冷端置于冰水混合物中，近似有 (t_0=0^\circ C)，故：

$$
E=kt
$$

其中 (k) 为热电偶的温差系数。

四、实验步骤

1. 按实验要求连接箱式电位差计、检流计、标准电池和热电偶。

2. 接通电源，将倍率旋钮置于合适位置，预热约 3 min。

3. 将开关置于”标准”位置，调节工作电流，使检流计指零，完成工作电流校准。

4. 将热电偶冷端放入冰水混合物中，保持冷端温度近似为 (0^\circ C)。

5. 将热电偶热端放入电热杯中加热，每升高约 (10^\circ C) 记录一次温度和电位差计读数。

6. 升温测量结束后，停止加热，使热端自然冷却，每降低约 (10^\circ C) 再记录一次温度和电动势。

7. 对相同温度点的升温和降温数据取平均值。

8. 作出 (E-t) 标定曲线，并采用线性拟合法求出热电偶温差系数 (k)。

五、实验数据记录与处理

1. 原始数据

实验测得热电偶在不同温度下的升温、降温电动势如下表所示：

其中，32 ℃ 的降温数据缺失，需要进行补全。

2. 32 ℃降温数据的补全

由于 32 ℃ 降温值没有记录，本实验采用降温数据线性拟合外推法进行估算。

对已知降温数据进行线性拟合，得到：

$$
E_{\text{降}}=0.03954t-0.07600
$$

代入 (t=32^\circ C)，得：

$$
E_{\text{降},32}=0.03954\times 32-0.07600=1.189\text{ mV}
$$

因此，补全后的 32 ℃ 降温数据为：

$$
\boxed{E_{\text{降},32}=1.189\text{ mV}}
$$

注：该值为拟合估算值，不是直接实测值。

3. 平均值计算

为减小升温和降温过程中热滞后带来的误差，对同一温度下的升温值和降温值取平均：

$$
E_{\text{平均}}=\frac{E_{\text{升}}+E_{\text{降}}}{2}
$$

例如：

• 当 (t=42^\circ C) 时：

$$
E_{\text{平均}}=\frac{1.830+1.559}{2}=1.695\text{ mV}
$$

• 当 (t=61^\circ C) 时：

$$
E_{\text{平均}}=\frac{2.548+2.348}{2}=2.448\text{ mV}
$$

• 当 (t=80^\circ C) 时：

$$
E_{\text{平均}}=\frac{3.069+3.068}{2}=3.069\text{ mV}
$$

4. 数据处理结果

其中：

$$
\Delta E=E_{\text{升}}-E_{\text{降}}
$$

升降温差值可用于反映同一温度点的实验重复性。

5. 线性拟合

以温度 (t) 为横坐标，平均电动势 (E) 为纵坐标，对数据进行最小二乘线性拟合，得到热电偶的标定方程：

$$
\boxed{E=0.0379t+0.0792}
$$

拟合优度为：

$$
\boxed{R^2=0.9902}
$$

由斜率可得热电偶的温差系数：

$$
\boxed{k=0.0379\ \text{mV}/^\circ C}
$$

即：

$$
\boxed{k=37.9\ \mu V/^\circ C}
$$

六、实验结果可视化

图1 热电偶 (E-t) 标定曲线

由图1可见，热电偶电动势随温度升高而增大，在本实验温度范围内近似呈线性关系。升温、降温及平均值三组数据总体趋势一致，说明实验结果较合理。

图2 线性拟合残差图

由图2可知，残差整体较小，大部分点分布在零附近，说明平均值数据与线性拟合结果符合较好，线性模型能够较准确描述实验规律。

图3 升温与降温测量差值图

由图3可见，部分温度点的升温值与降温值存在一定差异，尤其在 42 ℃、61 ℃ 和 68 ℃ 附近差值较明显，说明升温和降温过程中存在一定的热滞后现象。

图4 电位差计实验数据总览

]

图4为本实验的数据总览图，集中给出了拟合方程、温差系数、拟合优度以及各温度点的平均值与残差，便于整体分析实验结果。

七、实验结果

本实验利用箱式电位差计测量了热电偶在不同温度下的温差电动势，并对升温与降温数据取平均后作出了 (E-t) 标定曲线。
通过线性拟合得到热电偶标定方程：

$$
\boxed{E=0.0379t+0.0792}
$$

拟合优度为：

$$
\boxed{R^2=0.9902}
$$

热电偶的温差系数为：

$$
\boxed{k=0.0379\ \text{mV}/^\circ C=37.9\ \mu V/^\circ C}
$$

说明在 (32^\circ C\sim 80^\circ C) 范围内，热电偶的电动势与温度近似成线性关系。

八、误差分析

1. 冷端温度不严格为 (0^\circ C)
   实验中热电偶冷端置于冰水混合物中，但若冰量不足或搅拌不充分，冷端温度可能偏离 (0^\circ C)，从而引入系统误差。

2. 热平衡未充分建立
   在升温和降温过程中，温度计、水和热电偶接点达到热平衡需要一定时间。如果读数过快，则温度计显示值与热电偶实际温度可能并不一致。

3. 热滞后现象
   升温与降温过程的传热条件不同，因此在同一温度点下升温值与降温值可能存在差异。本实验中 42 ℃、61 ℃ 和 68 ℃ 附近差值较大，说明存在较明显的热滞后。

4. 电位差计调零误差
   补偿状态依赖检流计指针是否指零，而”恰好为零”的判断带有一定主观性，因此会造成一定的人为误差。

5. 温度计读数误差
   温度计存在分度误差和视差误差，都会影响温度读数的准确性。

6. 热电偶与温度计位置不完全一致
   若热电偶热端与温度计液泡所处位置不同，则二者反映的温度不完全相同，进而影响 (E-t) 对应关系。

7. 32 ℃降温数据为拟合外推值
   该数据不是直接测得，而是由降温数据拟合外推得到，因此会对 32 ℃ 的平均值及整体线性拟合结果带来一定附加误差。

8. 热电偶关系并非绝对线性
   在较宽温度范围内，热电偶的电动势与温度关系并非严格直线，本实验用一次函数近似，会带来模型误差。

九、结论

本实验通过箱式电位差计测量了热电偶在不同温度下的温差电动势，并对数据进行了处理和拟合分析。结果表明：

1. 电位差计采用补偿法测量电动势，测量精度较高；

2. 热电偶的温差电动势随温度升高而增大；

3. 在本实验温度范围内，热电偶电动势与温度近似满足线性关系；

4. 实验测得热电偶的温差系数为：

$$
\boxed{k=37.9\ \mu V/^\circ C}
$$

实验结果与理论规律基本一致，说明本次实验测量较为成功。

十、思考题

1. 为什么箱式电位差计的工作电流一定要校准到 (I_0)？怎样校准？

箱式电位差计测量电动势时，是根据工作电流在标准电阻上产生的电压降来进行补偿的。若工作电流不等于标准值 (I_0)，则电位差计刻度所对应的电压值会发生变化，从而导致测量结果不准确。

校准方法为：将开关置于”标准”位置，接入标准电池，调节工作电流，使检流计指零。此时满足：

$$
E_N=I_0R_N
$$

由此即可将工作电流校准到标准值 (I_0)。

2. 如何用电位差计校准电压表或电流表？

校准电压表时，可将电压表与待测电压并联，同时用电位差计测出该电压的准确值 (U)，再与电压表读数 (U_V) 比较，得到修正值：

$$
\Delta U=U-U_V
$$

校准电流表时，可将电流表与已知标准电阻串联，用电位差计测量该标准电阻两端的电压 (U_R)，则实际电流为：

$$
I=\frac{U_R}{R}
$$

再与电流表读数比较即可完成校准。

3. 如何用电位差计测量电池内阻？

先测量电池开路时的电动势 (E)，再将已知电阻 (R) 与电池组成闭合回路，用电位差计测量电池两端电压 (U)。根据闭合电路欧姆定律：

$$
U=E-Ir
$$

又因为：

$$
I=\frac{U}{R}
$$

联立可得电池内阻：

$$
r=R\left(\frac{E}{U}-1\right)
$$

因此，只要测出电池的开路电动势 (E)、负载电压 (U) 以及外接电阻 (R)，即可求得电池内阻。